Tétel
f egyenletesen folytonos I intervallumon ⇒ f folytonos ∀ c∈I pontban
Bizonyitás
∀ ε>0 ∃ δ=δ(ε)>0 ∀ x1,x2∈I abs(x1-x2)<δ ⇒ abs(f(x1)-f(x2))<ε
⇒
∀ ε>0 ∃ δ=δ(ε,c)>0 ∀ abs(x-c)<δ⇒abs(f(x)-f(c))<ε
δ(ε,c)=δ(ε)
c∈I
x2:=c
Tétel
f egyenletesen folytonos I intervallumon ⇒ f folytonos ∀ c∈I pontban
Bizonyitás
∀ ε>0 ∃ δ=δ(ε)>0 ∀ x1,x2∈I abs(x1-x2)<δ ⇒ abs(f(x1)-f(x2))<ε
⇒
∀ ε>0 ∃ δ=δ(ε,c)>0 ∀ abs(x-c)<δ⇒abs(f(x)-f(c))<ε
δ(ε,c)=δ(ε)
c∈I
x2:=c